1=0.999… （9は無限に並ぶ）
って本当？
1>0.999…
でしょ？
という質問に対する答えは難しい。
によると
つまり、
1=0.999…
は納得できなくて当たり前なのです。当然、1=0.999…の証明も納得しづらいです。
今回は、代数的な証明の中の位取り記数法の性質を用いた証明（と、その納得しづらさ）について説明します。
定理：
1 = 0.999…
位取り記数法の性質を用いた証明：
x = 0.999… （1）
の両辺を10倍すると
10x=9.99… （2）
である。（2）−（1）より
9x=9
両辺9で割ると
x = 1
であるので（1）より
1 = 0.999…
□
これは正しそうですが（1）を10倍して（2）が導き出すところが納得しづらいです。10倍すると小数点の位置が
0.999…
↓10倍
9.99…
とズレるという発想が怪しいのです。因みに、この発想を
0.999… （9が無限に右に並ぶ）
ではなく
…999. （9が無限に左に並ぶ）
に適用するとこんな定理が成り立ちます。
定理：
−1 = …999.
位取り記数法の性質を用いた証明：
x = …999.0 （1）
の両辺を10倍すると
10x=…9990. （2）
である。（2）−（1）より
9x=-9
両辺9で割ると
x = -1
であるので（1）より
−1 = …999.
□
…999. （9が無限に左に並ぶ）
は無限に大きな数のはずです。−1 = …999 が証明できるって、なんだか怪しい！……という感じで、位取り記数法による証明は納得しづらいのです。
実のところ、位取り記数法において
−1 = …999.
であるということは、おかしな話ではないのです。実際、…999に1を足すと、桁が繰り上がっで
…999+1 = …000
となり、0になります。1を足すと0になる数が−1であることは不自然ではないです。
この構造、二つを並べて比べると、分かりやすいです。
1-0.999…= 0.00… 右に0が続き最後に1がある？
…999+1 = …000 左に0が続き最後に1がある？
0がずーっと続いたあとに1がある、とも言えるし、ないとも言えるし、どっちがいいでしょうか？
どちらにせよ、位取り記数法の性質から
1-0.999…= 0.00…=0
と
…999+1 = …000=0
の両方が証明できます。
続く
読んでくれてありがとうございます。
