1=0.999…の件、その5（−1 = …999 の件）

1=0.999…　（9は無限に並ぶ）

って本当？

1>0.999…

でしょ？

 

という質問に対する答えは難しい。

0.999... - Wikipedia

によると

等式 0.999… = 1 は数学者に長く受け入れられ、一般の算数・数学教育の一部であったにも拘らず、これを十分直観に反するものと見なして、疑念や拒絶反応を示す学徒もいる。このような懐疑論は、「この等式を彼らに納得させることがいかに難しいか」が数学教育の様々な研究の主題となることに正当性を与える程度に当たり前に存在している。

つまり、

1=0.999…

は納得できなくて当たり前なのです。当然、1=0.999…の証明も納得しづらいです。

 

前回は、位取り記数法を使うと

1=0.999…

と

−1 = …999.

の両方が証明できることを説明しました。

 

−1 = …999.

は、一見不思議ですが、必ずしも間違いとは言えません。

「等比級数の解析接続」という魔法の言葉で

−1 = …999.

を正当化できるし、コンピュータ等でマイナスを扱う際にビット反転する話に似ており、実用性もあります。

 

というわけで

1=0.999…

と

−1 = …999.

の両方とも正しい、としましょう。そうすれば

1-1=0

より

…999.999… = 0

がいえます。9が左右に無限に並んでいるとき0になります。これは9に限りません。

実は

…000.000… 　0が無限に並ぶ

=…111.111… 　1が無限に並ぶ

=…222.222… 　2が無限に並ぶ

=…333.333… 　3が無限に並ぶ

･･･

=…999.999… 　9が無限に並ぶ

= 0

となります。証明はこんな感じ。

 

定理：

…aaa.aaa…=0

証明：

x=…aaa.aaa… 

と置く。

10x=…aaa.aaa… =x

より

x=0

□

 

続く

 

読んでくれてありがとうございます。