幼児教育と数学（その１）順序数とペアノの公理

幼児教育では

順序数

集合数

が理解できれば数の概念が身についた、ってことになるそうです。

 

「順序数」は、順序を表す数のこと。

順番のことですね。

これが1番目、これが2番目、これが3番目、…

と順番が分かれば、順序数が理解できていることになります。

 

「集合数」とは、ものの多さを表す数のこと。人数とか個数のことですね。

 

幼児教育では、順序数と集合数の両方が分かったら、数の概念が分かった、となるようですが、数学的にはどうなんでしょう？

 

数とは何か？

数学では、自然数はペアノの公理で定義できます。ペアノの公理とは、

一番最初、その次、その次、・・・

と、順番に数えるという動作を、論理的に記述したものです。

ウィキペディアによるとこんな感じです。

ペアノの公理 - Wikipedia

 

ペアノの公理は以下の様に定義される。

自然数は次の5条件を満たす。

1. 0は自然数である。
2. 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
3. 0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）。
4. 異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
5. 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。

 

結構難しいですね…

でも大丈夫！

大雑把にいうと、

順番に数えるという動作を、論理的に記述したら、ペアノの公理になる

ということです。つまり、

数を数えることができるなら、ペアノの公理を（無意識的に）理解していると言えるのです。

つまり、

 

数えることができる

　↓

ペアノの公理が（無意識的に）使える

 

ということ。

 

幼児教育の話に戻りますと

 

順序数が理解できる

　↓

数えることができる

　↓

ペアノの公理が（無意識的に）使える

 

となります。

幼児教育って難しいですね。

 

続く