くものしゅの日記

子育て中の ph. D.です。専門は確率統計.情報理論等

幼児教育と数学(その1)順序数とペアノの公理

幼児教育では
順序数
集合数
が理解できれば数の概念が身についた、ってことになるそうです。
 
「順序数」は、順序を表す数のこと。
順番のことですね。
これが1番目、これが2番目、これが3番目、…
と順番が分かれば、順序数が理解できていることになります。
 
「集合数」とは、ものの多さを表す数のこと。人数とか個数のことですね。
 
幼児教育では、順序数と集合数の両方が分かったら、数の概念が分かった、となるようですが、数学的にはどうなんでしょう?
 
数とは何か?
数学では、自然数ペアノの公理で定義できます。ペアノの公理とは、
一番最初、その次、その次、・・・
と、順番に数えるという動作を、論理的に記述したものです。
ウィキペディアによるとこんな感じです。
 

ペアノの公理は以下の様に定義される。

自然数は次の5条件を満たす。

  1. 0は自然数である。
  2. 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する(suc(a) は a + 1 の "意味")。
  3. 0 はいかなる自然数の後者でもない(0 より前の自然数は存在しない)。
  4. 異なる自然数は異なる後者を持つ:a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
  5. 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。
 

結構難しいですね…

でも大丈夫!
大雑把にいうと、
順番に数えるという動作を、論理的に記述したら、ペアノの公理になる
ということです。つまり、
数を数えることができるなら、ペアノの公理を(無意識的に)理解していると言えるのです。
つまり、
 
数えることができる
 ↓
ペアノの公理が(無意識的に)使える
 
ということ。
 
幼児教育の話に戻りますと
 
順序数が理解できる
 ↓
数えることができる
 ↓
ペアノの公理が(無意識的に)使える
 
となります。
幼児教育って難しいですね。
 
続く