くものしゅの日記

子育て中の ph. D.です。専門は確率統計.情報理論等

1=0.999…の件、その6

1=0.999… (9は無限に並ぶ)
って本当?
1>0.999…
でしょ?
 
という質問に対する答えは難しい。

0.999... - Wikipedia

によると
等式 0.999… = 1 は数学者に長く受け入れられ、一般の算数・数学教育の一部であったにも拘らず、これを十分直観に反するものと見なして、疑念や拒絶反応を示す学徒もいる。このような懐疑論は、「この等式を彼らに納得させることがいかに難しいか」が数学教育の様々な研究の主題となることに正当性を与える程度に当たり前に存在している。
つまり、
1=0.999…
は納得できなくて当たり前なのです。当然、1=0.999…の証明も納得しづらいです。
 
 
前回までは、代数的な証明の納得しづらさについて説明しました。今回は、解析的な話。実数で考える、という話をします。
 
1=0.999…
が成り立つのは、実数で考えてるからです。実数というと、分かりづらいです。実数って何者?デデキントの切断とかで定義するんですけど、まあ、分かりづらい。
 
でも、安心してください。実は簡単なんです。
 
1=0.999…
が成り立つ理由は、本当に単純な話なんです。
 
実数で考えると
1=0.999…
で成り立つ理由は、
1と0.999…を同一視してるからなんです。
 
本来は違うものだけど、同一視しているから、イコールが成り立つのです。
1と0.999…を同一視する
ということは、
1-0.999… を 0 と同一視する、
と同じです。本来、
1- 0.999…= 0.000…01
のように、0が無限に並び最後に1が付くので、 0 でないけど、0.000…01 と 0 を同一視すれば
1- 0.999…= 0
が成り立つといえるのです。
 
ようは、本来違うものを同じものであると同一視している、ということなんです。
 
嘘だと思うなら、実数のコーシー列による構成、を調べてみてください。
コーシー列 - Wikipediaにも書いてあります。

有理数 q は、常に一定値 q を値にとる数列 (qqq, …) と同一視して、有理数全体の成す集合 Q は、有理コーシー数列全体の集合 X に含まれるものと見なす。また、コーシー列に、項同士の四則演算をもとに四則演算を定義することができ、これは有理数同士の四則演算と両立している。特に、X は (0, 0, 0, …) を零元(1, 1, 1, …) を単位元とするである。ここで、(xn) − (ym) が 0 に収束するという関係 ∼ は同値関係になる。この同値関係 ∼ で割った[注 3]商環 X/∼ は、同型の違いを除いて一意的に決まる。この X/∼ を R と書き、実数体とよぶ。

 

・・・読んでみても分からなかった、という人でも大丈夫。大雑把に言うと、こんな話です。
 
~ ってのが同一視する、という意味です。因みに
1~0.999…
が成り立つんですけど、これは
1と0.999…を同一視する
ってことです。んで、
「有理コーシー数列全体の集合 X を~で割った商空間 X/~ を実数体と呼ぶ」みたいな話は
実数では 1と0.999…を同一視するからよろしくね、
ってことです。
 
・・・難しいことは気にしなくてもよいです。
 
重要なのは、ただ一つ。
 
実数では1 と 0.999… を同一視するから、
1=0.999…
が成り立つ、
 
ということです。
 
続く
 
読んでくれてありがとうございます。