1=0.999… （9は無限に並ぶ）
って本当？
1>0.999…
でしょ？
という質問に対する答えは難しい。
によると
つまり、
1=0.999…
は納得できなくて当たり前なのです。当然、1=0.999…の証明も納得しづらいです。
前回までは、代数的な証明の納得しづらさについて説明しました。今回は、解析的な話。実数で考える、という話をします。
1=0.999…
が成り立つのは、実数で考えてるからです。実数というと、分かりづらいです。実数って何者？デデキントの切断とかで定義するんですけど、まあ、分かりづらい。
でも、安心してください。実は簡単なんです。
1=0.999…
が成り立つ理由は、本当に単純な話なんです。
実数で考えると
1=0.999…
で成り立つ理由は、
1と0.999…を同一視してるからなんです。
本来は違うものだけど、同一視しているから、イコールが成り立つのです。
1と0.999…を同一視する
ということは、
1－0.999… を 0 と同一視する、
と同じです。本来、
1- 0.999…= 0.000…01
のように、0が無限に並び最後に1が付くので、 0 でないけど、0.000…01 と 0 を同一視すれば
1- 0.999…= 0
が成り立つといえるのです。
ようは、本来違うものを同じものであると同一視している、ということなんです。
嘘だと思うなら、実数のコーシー列による構成、を調べてみてください。
コーシー列 - Wikipediaにも書いてあります。
有理数 q は、常に一定値 q を値にとる数列 (q, q, q, …) と同一視して、有理数全体の成す集合 Q は、有理コーシー数列全体の集合 X に含まれるものと見なす。また、コーシー列に、項同士の四則演算をもとに四則演算を定義することができ、これは有理数同士の四則演算と両立している。特に、X は (0, 0, 0, …) を零元、(1, 1, 1, …) を単位元とする環である。ここで、(xn) − (ym) が 0 に収束するという関係 ∼ は同値関係になる。この同値関係 ∼ で割った[注 3]商環 X/∼ は、同型の違いを除いて一意的に決まる。この X/∼ を R と書き、実数体とよぶ。
・・・読んでみても分からなかった、という人でも大丈夫。大雑把に言うと、こんな話です。
～ ってのが同一視する、という意味です。因みに
1～0.999…
が成り立つんですけど、これは
1と0.999…を同一視する
ってことです。んで、
「有理コーシー数列全体の集合 X を～で割った商空間 X/～ を実数体と呼ぶ」みたいな話は
実数では 1と0.999…を同一視するからよろしくね、
ってことです。
・・・難しいことは気にしなくてもよいです。
重要なのは、ただ一つ。
実数では1 と 0.999… を同一視するから、
1=0.999…
が成り立つ、
ということです。
続く
読んでくれてありがとうございます。
