1=0.999…の件、その２（1/3 を3倍して証明できる？）

1=0.999…　（9は無限に並ぶ）

って本当？

1>0.999…

でしょ？

 

という質問に対する答えは難しい。wikipediaによると

 

等式 0.999… = 1 は数学者に長く受け入れられ、一般の算数・数学教育の一部であったにも拘らず、これを十分直観に反するものと見なして、疑念や拒絶反応を示す学徒もいる。このような懐疑論は、「この等式を彼らに納得させることがいかに難しいか」が数学教育の様々な研究の主題となることに正当性を与える程度に当たり前に存在している。

 

つまり、多くの人にとって

1=0.999…

は納得できなくて当たり前なのです。当然、1=0.999…の証明も納得しづらいです。

 

今回は、代数的な証明の中の分数による証明（と、その納得しづらさ）について説明します。

 

定理：

1 = 0.999…

分数による証明：

1/3=0.333… 

両辺を3倍すると

3×1/3  = 3×0.333… 

より

1 = 0.999…

□

 

これに、私なりにツッコミをいれてみます。まず、

 

1/3=0.333… 

 

が納得しづらいです。

1/3 とは 1÷3 ですよね。１つのケーキを3人に分けたとき、1人何個もらえるか、という答えが 1/3 個です。

 

1個を3等分 = 1/3 個

 

です。

一方、右辺の 0.333… とは「1個を10等分したものを各人に３つ渡し、余った1つをさらに10等分して各人に3つ渡し、余った1つをさらに10等分して各人に3つ渡し・・・」ということです。つまり、永久に10等分して、永久に３つ渡し続けて、永久に余りがあり続けています。

 

ここで「ケーキを分ける係の人」に注目してください。

 

１つのケーキを3等分して3人に分けると、各人

1/3個

になりますが、この場合、「ケーキを分ける係の人」の手元にケーキはありません。

 

 

一方、「1個を10等分したものを各人に３つ渡し、余った1つをさらに10等分して各人に3つ渡し・・・」という分け方をすると、各人

0.333… 個

になりますが、この場合、「ケーキを分ける係の人」の手元には、ずーっとケーキの切れ端が残り続けます。

 

このように「ケーキを分ける係の人」が切れ端を持っているなら、3人に渡されるケーキの量は切れ端分少なくなるでしょう。

 

別の言い方をすると、割り算の計算途中の余りの分だけ数は小さくなるのではないでしょうか？

 

1÷3 = 1/3（余りなし）

1÷3 = 0.333…（永久に余りあり）

 

ですので、0.333…は余りの分だけ1/3 より小さいと言えそうです。よって

 

1/3 > 0.333…

 

と言えそうです。

 

つまり、

1/3=0.333…　（3は無限に並ぶ）

って本当？

1/3 > 0.333…

でしょ？

って気がするのです。

 

続く

 

読んでくれてありがとうございます。