1=0.999… (9は無限に並ぶ)
って本当?
1>0.999…
でしょ?
という質問に対する答えは難しい。
によると
つまり、
1=0.999…
は納得できなくて当たり前なのです。当然、1=0.999…の証明も納得しづらいです。
まとめると、こんな感じです。
1=0.999…が成り立つ話。
実数の場合、1 = 0.999…は成り立ちます。
実数とは、簡単に言うと、普通の数のこと。特に難しく考える必要ありません。1 と 0.999…を同一視するから
1 = 0.999…
が成り立つ、ということです。
1 ≠ 0.999…が成り立つ話。
1 ≠ 0.999…の場合は難しいので、次の2つに分けて考えてみます。
- 1 と 0.999… は近い数だけど異なる。
- 1 と 0.999… は全く異なる。
1 と 0.999… は近い数だけど異なる。
1 と 0.999…は、ほぼ同じだけど、0.999…の方が若干小さい、と直感的に感じる方も多いと思います。これは、近い遠いの基準(位相)が細かくて、小さな違いが見分けられる、ということです。通常よりも小さな違いを見分けられる、ということですので、なんの問題もありません。しかし、大抵の場合は、小さな違いは重要ではないので、1 と 0.999…を同一視して
1 = 0.999…
が成り立つ、とした方がシンプルになります。
1 と 0.999… は全く異なる。
1 と 0.999…が、ほぼ同じどころか、全く違う数に感じる、という状況です。これは、近い遠いの基準(位相)が通常と異なっているので、1 と 0.999…が近い数だと思えない、ということです。これは難しいので、一言で言い表せません。ただ、重要なのは、
1 と 0.999… が全く異なっても数学的に問題はない、ということです。
近い、を、似てる、と言い換えたほうが分かりやすいかもしれません。
整数2、3、128 を例に説明します。
大きさが基準の場合
- 2と3は似ている。2と128は似ていない
偶数か奇数かが基準の場合
- 2と128は偶数だから似ている。2と3は偶数と奇数だから似ていない。
このように、数の、どの性質に着目するかで、似てるかどうかは変わります。よって
1 と 0.999… は全く似ていない
という考え方も数学的にはありなのてす。
読んでくれてありがとうございます。