くものしゅの日記

子育て中の ph. D.です。専門は確率統計.情報理論等

1 = 0.999…の件、その8(位相に着目)

1=0.999… (9は無限に並ぶ)
って本当?
1>0.999…
でしょ?
 
という質問に対する答えは難しい。

0.999... - Wikipedia

によると
等式 0.999… = 1 は数学者に長く受け入れられ、一般の算数・数学教育の一部であったにも拘らず、これを十分直観に反するものと見なして、疑念や拒絶反応を示す学徒もいる。このような懐疑論は、「この等式を彼らに納得させることがいかに難しいか」が数学教育の様々な研究の主題となることに正当性を与える程度に当たり前に存在している。
つまり、
1=0.999…
は納得できなくて当たり前なのです。当然、1=0.999…の証明も納得しづらいです。
まとめると、こんな感じです。
 
1=0.999…が成り立つ話。
実数の場合、1 = 0.999…は成り立ちます。
実数とは、簡単に言うと、普通の数のこと。特に難しく考える必要ありません。1 と 0.999…を同一視するから
 1 = 0.999…
が成り立つ、ということです。
 
1 ≠ 0.999…が成り立つ話。
1 ≠ 0.999…の場合は難しいので、次の2つに分けて考えてみます。
  • 1 と 0.999… は近い数だけど異なる。
  • 1 と 0.999… は全く異なる。
 

1 と 0.999… は近い数だけど異なる。
1 と 0.999…は、ほぼ同じだけど、0.999…の方が若干小さい、と直感的に感じる方も多いと思います。これは、近い遠いの基準(位相)が細かくて、小さな違いが見分けられる、ということです。通常よりも小さな違いを見分けられる、ということですので、なんの問題もありません。しかし、大抵の場合は、小さな違いは重要ではないので、1 と 0.999…を同一視して
1 = 0.999…
が成り立つ、とした方がシンプルになります。

 

1 と 0.999… は全く異なる。
1 と 0.999…が、ほぼ同じどころか、全く違う数に感じる、という状況です。これは、近い遠いの基準(位相)が通常と異なっているので、1 と 0.999…が近い数だと思えない、ということです。これは難しいので、一言で言い表せません。ただ、重要なのは、

 

1 と 0.999… が全く異なっても数学的に問題はない、ということです。

 

近い、を、似てる、と言い換えたほうが分かりやすいかもしれません。

整数2、3、128 を例に説明します。
大きさが基準の場合
  • 2と3は似ている。2と128は似ていない
偶数か奇数かが基準の場合
  • 2と128は偶数だから似ている。2と3は偶数と奇数だから似ていない。
このように、数の、どの性質に着目するかで、似てるかどうかは変わります。よって
 
1 と 0.999… は全く似ていない
 
という考え方も数学的にはありなのてす。
 
読んでくれてありがとうございます。