くものしゅの日記

子育て中の ph. D.(応用数学)が書いてます

モンティ・ホール問題

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 AからBに交換したほうが当たる確率は高くなります。交換しないときに当たる確率は「Aが当たりの確率」だから1/3です。一方、交換したときに当たる確率は「A以外が当たりの確率」だから当たる確率は2/3になります。

 このマンガの先輩の説明を詳しく書くとこんな感じになります:
A,B,Cの3つの箱の中に当たりが一つあります。はじめに1つの箱を選びます。それを仮にAとしましょう。そして、残りの箱B,Cを合体して「BC」とします。このとき、Aが当たりである確率は1/3、「BC」が当たりである確率は2/3になります。もし、

『Aと「BC」を交換しますか?』

と聞かれたならば、当然交換しますよね。1つの箱より、2つの箱を選ぶほうが当たりやすいので「BC」を選んだほうが良いからです。

当たりは1つだけですので「BC」のどちらか一方は確実にハズレです(両方ハズレということもあり得ます)。そして、司会者はどの箱がハズレか知っており、「BC」のハズレの方の箱を開けたとします。司会者が開けたハズレ箱をCとしましょう。そして、

ハズレ箱をCを開けた後に、『Aと「BC」を交換しますか?』

と聞かれたとします。このときでもAから「BC」に交換したほうが良いと思いますか?今回はCがハズレであると分かっていますが、それでも「BC」を選んだ方が良いでしょうか?

結論を先に言うと、Aが当たりの確率は1/3で、「BC」が当たりである確率は2/3ですので「BC」を選んだ方が良いです。なぜ、確率がそのようになるのかを説明します。

説明:そもそも「BC」のどちらか一方にハズレがあるということは確実でしたし、司会者がハズレの方を開けることも確実なことでした。司会者がしたことは「BC」に必ずあるハズレ箱を開けただけですので、「BC」が当たる確率には影響ありません。もちろんAが当たる確率にも影響はありません。司会者がハズレ箱Cを開けても、Aの当たる確率は1/3のままで、2つの箱「BC」が当たりである確率も2/3のままなのです。

 

ところで、今回はCがハズレであると分かっていますので、

「BC」が当たり、と、Bが当たりは同じことです。

Bを選ぶということは、2つの箱「BC」を選ぶということと同じことなのです。よって、Bが当たりの確率は「BC」が当たりの確率2/3と同じになります。では、最後に、
ハズレ箱をCを開けた後に『AとBを交換しますか?』
と聞かれたとき、交換したほうが良いと思いますか?

答えは、AからBに交換したほうが良いのです。理由は
Aが当たりの確率は1/3
Bが当たりの確率は2/3
だからです。

ーーここまでが先輩の説明ーー

 

この問題はモンティ・ホール問題と呼ばれています。

私がこの問題を初めて聞いたとき、AとBを交換してもしなくても確率は変わらないので、交換しなくても良いのでは?、と思っていました。交換したほうが確率が高くなると知ってびっくりしました。皆さんは初めて聞いたときどう考えましたか?

 

 

 モンティ・ホール問題:モンティ・ホールという人が司会者を務めるアメリカのゲームショー番組の中で行われたゲームに由来する問題です。ウィキペディアによると、こんな感じだったそうです。

モンティ・ホール問題 - Wikipedia 最終更新 2017年6月25日 (日) 16:49 より引用

「プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。プレーヤーはドアを変更すべきだろうか?」