くものしゅの日記

子育て中の ph. D.です。専門は確率統計.情報理論等

1=0.999…の件、その２（1/3 を3倍して証明できる？）

雑談 数学 教養 教育
1=0.999…　（9は無限に並ぶ）
って本当？
1>0.999…
でしょ？
 
という質問に対する答えは難しい。wikipediaによると
 
等式 0.999… = 1 は数学者に長く受け入れられ、一般の算数・数学教育の一部であったにも拘らず、これを十分直観に反するものと見なして、疑念や拒絶反応を示す学徒もいる。このような懐疑論は、「この等式を彼らに納得させることがいかに難しいか」が数学教育の様々な研究の主題となることに正当性を与える程度に当たり前に存在している。
 
つまり、多くの人にとって
1=0.999…
は納得できなくて当たり前なのです。当然、1=0.999…の証明も納得しづらいです。
 
今回は、代数的な証明の中の分数による証明（と、その納得しづらさ）について説明します。
 
定理：
1 = 0.999…
分数による証明：
1/3=0.333… 
両辺を3倍すると
3×1/3  = 3×0.333… 
より
1 = 0.999…
□
 
これに、私なりにツッコミをいれてみます。まず、
 
1/3=0.333… 
 
が納得しづらいです。
1/3 とは 1÷3 ですよね。１つのケーキを3人に分けたとき、1人何個もらえるか、という答えが 1/3 個です。
 
1個を3等分 = 1/3 個
 
です。
一方、右辺の 0.333… とは「1個を10等分したものを各人に３つ渡し、余った1つをさらに10等分して各人に3つ渡し、余った1つをさらに10等分して各人に3つ渡し・・・」ということです。つまり、永久に10等分して、永久に３つ渡し続けて、永久に余りがあり続けています。
 
ここで「ケーキを分ける係の人」に注目してください。
 
１つのケーキを3等分して3人に分けると、各人
1/3個
になりますが、この場合、「ケーキを分ける係の人」の手元にケーキはありません。
 
 
一方、「1個を10等分したものを各人に３つ渡し、余った1つをさらに10等分して各人に3つ渡し・・・」という分け方をすると、各人
0.333… 個
になりますが、この場合、「ケーキを分ける係の人」の手元には、ずーっとケーキの切れ端が残り続けます。
 
このように「ケーキを分ける係の人」が切れ端を持っているなら、3人に渡されるケーキの量は切れ端分少なくなるでしょう。
 
別の言い方をすると、割り算の計算途中の余りの分だけ数は小さくなるのではないでしょうか？
 
1÷3 = 1/3（余りなし）
1÷3 = 0.333…（永久に余りあり）
 
ですので、0.333…は余りの分だけ1/3 より小さいと言えそうです。よって
 
1/3 > 0.333…
 
と言えそうです。
 
つまり、
1/3=0.333…　（3は無限に並ぶ）
って本当？
1/3 > 0.333…
でしょ？
って気がするのです。
 
 
読んでくれてありがとうございます。
 

1=0.999…の件、その1

雑談 数学 教養 教育
1=0.999…　（9は無限に並ぶ）
は何で？
1>0.999…
でしょ？
 
という質問は意外と難しいです。詳しくは
にまとまっていますが、結構、分かりづらいです。全部読むのは大変ですけど、重要な所はここです。
標準的な解釈の下で式 0.999… の値は 1 に等しくなるが、一部の体系においては記号 "0.999…" に別の解釈を与えて 1 よりも無限小だけ小さいようにすることができる。
つまり、基本は
1=0.999…
だけど、実は
1>0.999…
でも構わないのです。だから
 
1=0.999…　（9は無限に並ぶ）は何で？1>0.999…でしょ？
 
と聞かれたとき、私なら
 
1>0.999…
でもいいけど、実用上は
1=0.999…　
の方がシンプルで良いと思うよ、
 
と答えます。
 
1=0.999…の証明とかもありますけど、それは証明というよりも、説得術のようなものです。しかし
にもありますが、
等式 0.999… = 1 は数学者に長く受け入れられ、一般の算数・数学教育の一部であったにも拘らず、これを十分直観に反するものと見なして、疑念や拒絶反応を示す学徒もいる。このような懐疑論は、「この等式を彼らに納得させることがいかに難しいか」が数学教育の様々な研究の主題となることに正当性を与える程度に当たり前に存在している。
という感じで、
1=0.999…
を納得してもらうのは大変です。ですので
 
1=0.999…　（9は無限に並ぶ）は何で？1>0.999…でしょ？
 
の答えは、
 
1>0.999…でもいいけど、実用上は 1=0.999…　の方がシンプルで良いと思うよ、
 
でいいと私は思うのです。とはいえ
に、
代数的な証明
や
解析的な証明
がありますので、その証明で気になったことを少し書いてみようかな、と思いました。
 
 
読んでくれてありがとうございます。
 
 

測定誤差が気になるとき何回測定し直すか？掛け算をたった1回すれば回数の目安が付きます。

確率統計 雑談 数学 教養
測定には誤差がつきものです。
1回の測定の誤差が大きくても、複数回の測定して、その結果を平均すると、誤差は小さくなります。
逆に、誤差を小さくするには、複数回の測定して、その結果を平均すれば良いです。
 
測定する回数の目安ですが、
誤差をk分の１にしたいなら、k×k回測定して平均してください。
例えば、誤差を2分の1（半分）にしたいなら、k=2ですので、
2×2=4
より、4回測定して平均してください。
 
例：Aさんの身長を測定する場合。
1回測定して
160.5
だとしても、実際には
160.5+誤差
です。この誤差を2分の1（半分）にしたいなら、2×2=4より、4回測定（すでに1回測定しているので追加で3回測定）してください。その結果が
160.5, 160.3, 160.7, 160.1
とすると、これを平均して
(160.5+160.3+160.7+ 160.1)/4
=641.6/4
=160.4
が得られます。4回測定で誤差は2分の1になりますので
160.4 +誤差/2
となります。
身長を測定する場合、5mm程度は誤差があるかもしれません。この場合、4回測定して平均すれば、誤差は5/2=2.5mm程度になります。逆に誤差を1mm程度にしたいなら、5×5=25回測定して平均してください。このとき、誤差は5/5=1mmとなります。
□
 
まとめです。
  • 誤差を小さくするには、複数回の測定して、その結果を平均すれば良い。
測定回数の目安
  • 誤差をk分の1にしたいなら、k×k回測定する
例えば
  • 誤差を2分の1にしたい→2×2=4回測定
  • 誤差は3分の1にしたい→3×3=9回測定
  • ...
  • 誤差は5分の1にしたい→5×5=25回測定
  • ...
  • 誤差は10分の1にしたい→10×10=100回測定
 
読んでくれてありがとうございます。
 
 
 
 
 
 

1+1は2ではない。測定誤差の足し算（その3）

教養 数学 確率統計 雑談

前回↓の続きです。

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前回の復習：
普通の足し算
同じものをｎ回足すとｎ倍になります。
誤差の足し算
n回足すと√n倍になります。
 
誤差がeの場合、足し算は
e+e=√2×e
e+e+e=√3×e
e+e+e+e=√4×e
･･･
のように、誤差 e を n回足すと √n×e になる、と覚えてください。
では、今回の話を始めます。
 
ところで、誤差が1の場合、 e=1より、足し算は
1+1=√2
1+1+1=√3
1+1+1+1=√4=2
…
となります。
 
このように、誤差の場合、1+1は2ではありません。2になるのは、1+1+1+1です。
 
1+1≠2
について解説します。
 

左辺：1+1は、2回測定して２回誤差が発生した状況に対応しています。

誤差（1回目）+誤差（2回目）
のように、２個の誤差を足しています。
 
右辺：2は、1回の測定で2倍の誤差が発生した状況に対応しています。1個の誤差が2倍の大きさになっている、ということです。
 
1+1≠2
とは、２個の誤差を足しても、1個の誤差を2倍したことにはならない、ということを意味しています。
 
一方、
1+1+1+1=2
は、4個の誤差を足すことと、1個の誤差を2倍することは同じ、ということを意味しています。
 
一見不思議に感じるかもしれませんが、確率論的には正しい話です。より正確に理解するには、正規分布や標準偏差、独立同分布等についての知識が必要になります。
 

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しかし、実用的には

普通の足し算
同じものをｎ回足すとｎ倍になります。
誤差の足し算
n回足すと√n倍になります。
と覚えれば十分でしょう。
誤差がeの場合、足し算は
e+e=√2×e
e+e+e=√3×e
e+e+e+e=√4×e
･･･
のように、誤差 e を n回足すと √n×e になる、と覚えてください。
 
最後まで読んでくれてありがとうございます。

測定誤差の足し算（その２）

教養 数学 確率統計 雑談

前回↓の続き

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前回の復習：
普通の足し算
同じものをｎ回足すとｎ倍になります。
誤差の足し算
n回足すと√n倍になります。
 
誤差がeの場合、足し算は
e+e=√2×e
e+e+e=√3×e
e+e+e+e=√4×e
･･･
のように、誤差 e を n回足すと √n×e になる、と覚えてください。
 
ところで、e を100回足したとき √100 = 10 より
e+e+･･･+e = √100×e = 10×e
となります。100回足しても10倍にしかなりません。
 
誤差の足し算の使い方を説明します。
 
例：どんな物を測定しても誤差があります。例えば、ポテトチップスのパッケージに内容量 60g と記載されていても、多少の誤差があるはずです。仮に誤差をeと書くとすると
60±e
と書けます。誤差が1グラムとは
e=1 だから、60±1　より、実際は1袋
59〜61 グラム
程度である、という意味だと思ってください。誤差が2グラムの場合は
e=2 だから、60±2　より、実際は1袋
58〜62 グラム
程度ということです。
 
では、100袋のポテトチップスの内容量は何グラムになるでしょうか？
60グラムが100袋ですので
60×100=6000　
より、パッケージ通りなら6000グラムですが、誤差があるはずです。
100袋の誤差ですので、100個分の誤差を足す必要があります。このとき、誤差の足し算をつかいます。ルート100は10ですので
e+e+・・・+e=√100×e=10×e
が100袋の誤差です。よって、ポテトチップス100個の真の内容量は
6000±10e
です。1袋の誤差が1グラム程度なら e = 1 より 
6000±10 、つまり、 5990～6010 グラム
になります。1袋の誤差が2グラム程度なら e = 2 より
6000±20 、つまり、 5980～6020 グラム
になります。
誤差の足し算は普通の足し算とは違います。
 
では、仮に、普通の足し算を使うとどうなるのか、計算してみましょう。

（ここから間違った計算です）

1袋の誤差が１グラムのとき、100袋分足すと、1を100回足すので 100 になります。つまり、誤差が100です。よって、ポテトチップス100個の内容量は
6000±100、つまり 5900～6100 グラム
程度です。

（ここまで間違い）

では、この計算（誤差を普通に足し算すること）が間違いである理由を説明します。
はじめに、本当にポテトチップス100袋を購入した場合を思い浮かべてください。パッケージ内容量が60g ですが、1グラム位は誤差があるので 59グラムであってもおかしくないとします。ところで、購入した100袋の全部が59グラムだとします。この場合はどうでしょう？100個全部が59グラムというのはおかしな話です。というのも、誤差が1グラム位ということは、61グラムのように多めの袋もあるはずだからです。
5900～6100 グラム
の5900とは、100個全部が59グラムということです。
100袋で5900グラムというのも、おかしな話なのです。
「1袋1グラム程度の誤差があるのは普通」
であっても
「100袋100グラム程度の誤差があるのはおかしい」
のです。
□
 
続く
 
読んでくれてありがとうございます。

 

測定誤差の足し算。（分散を使わないで解説）

教育 教養 数学 確率統計 雑談
測定には誤差がつきものです。何を測定しても、誤差が発生するので、真の値は
測定値±誤差
という形になります。例えば、体重を測定した結果が50kgでも、実際の体重は
50±誤差
になります。誤差が 0.1kg 程度とすると
50±0.1kg
より、体重は 49.9～50.1 kg 程度といえます。
 
このように、測定値には誤差があるので、2つの測定値を足す場合は、誤差も足す必要があります。
 
誤差の足し算は普通の足し算とは違います。
普通の足し算は同じものをｎ回足すとｎ倍になります。例えば、7を2回、3回、4回と足すと、
7+7=2×7
7+7+7=3×7
7+7+7+7=4×7
･･･
のように、7を n回足すと n×7 になります。
一方、誤差の場合、n回足すと√n倍になります。誤差がeの場合、足し算は
e+e=√2×e
e+e+e=√3×e
e+e+e+e=√4×e
･･･
のように、誤差 e を n回足すと √n×e になる、と覚えてください。
誤差の足し算は次のように使います。
 
例：二人の体重を足す場合。
２人の測定結果を50kg, 60kg とし、誤差をeとすると、二人の体重は
50±e
60±e
と表せます。これを足すと
（50±e）+（60±e） =110 ±（e+e）
です。誤差の足し算は
e+e =√2×e
ですので、
110 ±√2×e
です。
√2=1.414
ですので、
110 ±1.414×e
です。例えば誤差が0.1kg程度とすると 、e =0.1 を代入して、二人の体重の真の値は
110±0.1414
程度といえます。
□
 
普通の足し算は
a+a=2×a
ですが、誤差の足し算は
e+e =√2×e
です。√2=1.414<2ですので、
誤差を足すと普通の足し算より小さくなります。なぜ小さくなるかというと、誤差は互いに打ち消し合うことがあるからです。
極端な例で説明します。
一人目、二人目の誤差が共に1の場合、誤差を足すと
1 + 1 = 2
となり、誤差は2になります。しかし、一人目、二人目の誤差が−1、1のときは
－1 + 1 = 0 
となり、打ち消しあって誤差が０になります。このように打ち消しあって誤差が小さくなることがあるので、誤差の足し算は普通の足し算より小さくなるのです。
 
まとめです。
  • 普通の足し算
    同じものをｎ回足すとｎ倍になります。
  • 誤差の足し算
    誤差を n回足すと√n 倍になります。
誤差がeの場合、足し算は
e+e=√2×e
e+e+e=√3×e
e+e+e+e=√4×e
･･･
のように、誤差 e を n回足すと √n×e になる、と覚えてください。
 
読んでくれてありがとうございます。
 
続く

プロレスと量子力学

スポーツ 教養 数学 雑談
前回

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で、プロレスのタッグの実力を測る式を導出しました。要約すると次の通りです。

プロレスラーA、Bのシングルの力を、それぞれ、a,b と書く。AがBをサポートする力を
a×b
と表す。プロレスラーのタッグの力 a+b を
a+b:=a×b+b×a
で定義する。
今回は、読みやすいように×を削除して
a+b=ab+ba
と記述します。
では、前回の続きを始めたいと思います。
 
前回、プロレスのタッグの力を
a+b=ab+ba
と定義しましたが、右辺の+を-と置き換えると量子力学等で有用な交換子
[a,b]=ab-ba
になります。このことより、プロレスと量子力学の類似性が予想できます。
実際、プロレスにも、量子力学における
量子のもつれ
と同様の性質があります。
 
量子のもつれとは、二つの粒子の内、一方の粒子がどんなに離れていても、もう一方の粒子に影響を与えられる、という性質です。
 
この性質はプロレスでも観測されています。
例えば、天山小島のタッグ、通称テンコジの小島がどんなに離れていても（例え新日本プロレスを脱退しても）天山の状態に影響を与えました。この現象を量子力学にならい
プロレスラーのもつれ
と呼ぶことにします。
 
実のところ、もつれはプロレスに限りません。一般人のカップルでも、二人がもつれていれば、どんなに離れても（例え別居していても）互いに影響を与えます。
 
以上より、プロレスラーであろうが一般人であろうが、二人のもつれの指標として
a+b=ab+ba
が活用できると思われます。
 
続く・・・かも
 
読んでくれてありがとうございます。